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特殊极限的证明(2): sinx/x = 1

我们今天来证明另一个重要极限,由于这里插不了矢量图形,我把图形转成了png图像,大家凑活着看一下。
还有这个证明方法我自己想的,也不知道是不是严谨,如果有不正确之处,欢迎大家指出!

求证: $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1$

证明:考虑一个单位圆,半径为1,所以面积为 $\pi$;

在圆内做正接$n$边形,并注意它们面积的变化:

这是当 $n = 4$ 和 $n = 8$的图形:

《特殊极限的证明(2): sinx/x = 1》

这是当n=4时圆内部的正接四边形图案

《特殊极限的证明(2): sinx/x = 1》

这是当n=8时圆内正接8边形的图案

这是当 $n = 16$ 的图形:

《特殊极限的证明(2): sinx/x = 1》

这是当n=16时圆内正接16边形的图案

显然的,我们可以从正接 $n$ 边形的面积变化看出,当 $n \to +\infty \ (n \in \mathbb{N}^{*})$ 时,
正接n边形的面积趋近于圆的面积。

而对于每一个正接 $n$ 边形,它的面积可以转化为 $n$ 个等腰三角形的面积之和(如在 图像1 图像2 图像3 中的阴影部分)。
分割的做法如下:

连接正接 $n$ 便形的每一个相邻顶点,将所有顶点与单位圆的圆心相连。
这样,我们就的得到了 $n$ 个(腰长为 $1$ 的) 等腰三角形,它指向圆心的角大小可以这样表示:
$\alpha = \frac{2\pi}{n}$.

所以对于每一个小三角形,它的面积可以这样表示:
\begin{equation*}
S_{\vartriangle}
= \sin{\alpha} \times r^{2} \times \frac{1}{2}
= \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{n}}
\end{equation*}

令正接n边形的面积为 $S$,由以上结论,我们可以这样计算 $S$ :
\begin{equation}
\lim\limits_{n \to +\infty} S
= \lim\limits_{n \to +\infty} S_{\vartriangle} \times n
= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n}{2}\sin{\frac{2\pi}{n}}
= \pi
\Rightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{1}{n}}
= 2\pi
\ (n \in \mathbb{N}^{*})
\end{equation}

当 $n \to -\infty$,由公式(1):
\begin{equation*}
\lim\limits_{n \to -\infty} \frac{\sin{\frac{2\pi}{-n}}}{-\frac{2\pi}{n}}
= \lim\limits_{n \to -\infty} \frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{2\pi}{n}}
= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{2\pi}{n}}
= 1
\end{equation*}

令 $t = \frac{2\pi}{n}$,我们得到:
\begin{equation}
\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1
\ (t = \frac{2\pi}{n}, n \in \mathbb{Z})
\end{equation}

现在我们证明:对于连续变量 $x$ 以上结论仍然成立:
构造如下数列:
\begin{equation*}
X_{n} = \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} \quad
Y_{n} = \frac{\sin{2x}}{2x}
\end{equation*}

由公式(2), 当 $n \to 0$, $X_{n}, Y_{n} \to 1$,
现在考虑自变量为 $x$ 的如下函数: $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$.

证明:
$\frac{\sin{2x}}{2x} < \frac{\sin{x}}{x} < \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}$:

  • [-]
    对于不等式右侧:
    \begin{equation*}
    \frac{\sin{x}}{x} < \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} \Rightarrow 0 < \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - \frac{\sin{x}}{x} \Rightarrow 0 < \frac{{2\sin{\frac{x}{2}}} ( 1 - \cos{\frac{x}{2}} )}{x} \end{equation*} 当 $x > 0$,不等式的每一部分都大于 $0$;
    当 $x < 0$时, $\frac{\sin{x}}{x} > 0$, 且 $1 – \cos{\frac{x}{2}} > 0$.
    不等式得证。

  • [-]
    而对于不等式左侧:
    \begin{equation*}
    \frac{\sin{2x}}{2x} < \frac{\sin{x}}{x} \Rightarrow \frac{2\sin{x}\cos{x} - 2\sin{x}}{2x} < 0 \Rightarrow \frac{\sin{x}(1 - \cos{x})}{x} < 0 \end{equation*} 不等式同理可证。

由此可得:
\begin{equation}
Y_{n} < \frac{\sin{x}}{x} < X_{n} \end{equation} 而 $\forall x \geqslant N, \exists\, n \geqslant N: \frac{n}{2} < x < 2n$. 由不等式(3)和夹挤定理可得: \begin{equation} \lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1 \end{equation} 证毕。

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