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特殊极限的证明(1): (1+x)^(1/x) = e

没错, 我知道这些东西书上有, 写这样一篇帖子有两个目的

1. 网上查不到中文给的比较严格而完整的证明, 所以写一篇帖子来学(shui)数(tie)学(zi)
2. 最近学了 LaTex , 这个东西的输出实在太漂亮了, 用它来练练手

废话不多说,证明开始:

求证: $\lim\limits_{n \to \infty}{(1 + \frac{1}{n})^n} = e$, 当 $x \in \mathbb{N}^{*}$.

证明: 题目与该命题等价: $\lim\limits_{n \to 0}{(1 + n)^{\frac{1}{n}}} = e$

由二项式定理: $(a + b)^{n} = \sum\limits_{k = 0}^{n} {\mathrm{C}_{n}^{k}{a^{n – k}} b^k}$

我们可以得到:
\begin{align}
\notag X_n &= {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \\
\notag &= 1 + \mathrm{C}_{n}^{1} \cdot {\frac{1}{n}} + \mathrm{C}_{n}^{2} \cdot {\frac{1}{n^2}} + \mathrm{C}_{n}^{3} \cdot {\frac{1}{n^3}} + \cdots + \mathrm{C}_{n}^{n} {\frac{1}{n^n}} \\
\notag &= 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \cdot \frac{1}{n^3} + \cdots + \frac{n!}{n!} \cdot \frac{1}{n^n} \\
\notag &= 2 + \frac{1}{2!} (1 – \frac{1}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!} \left[ (1-\frac{1}{n}) \cdots (1-\frac{n-1}{n}) \right] \\
&< 2 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \end{align} 使用数学归纳法证明: $\forall n \geqslant 2, n \in \mathbb{N^{*}}$, $ n! > 2^{n-1} $

1. 当 $n = 2$, $ 2! \geqslant 2^1$;
2. 假设当 $n = n$, 有: $n! \geqslant 2^{n – 1}$;
3. 当 $n = n + 1$:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{r@{\;\;}l}
(n+1)! &= n! \cdot (n+1) \\
2^{n} &= 2^{n-1} \cdot 2
\end{array}
\right.
\because n \geqslant 2 \therefore (n+1) > 2
\Rightarrow \forall n \geqslant 2 \text{, } (n+1)! \geqslant 2^{n}\\
\end{equation}

由 (1)(2) 式: 当 $n>1$, 我们可以得到以下不等式:
\begin{align*}
X_n &= {(1 + \frac{1}{n})}^{n}
< 2 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \\ &< 2 + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 3 - \frac{1}{2^{n-1}} < 3 \end{align*} 所以该数列有上界: $3$.
对数列 $X_{n+1}$ 进行同样的展开:
\begin{align*}
X_{n+1} = \;2 & + \frac{1}{2!} \cdot (1 – \frac{1}{n+1}) +
\frac{1}{3!} \cdot (1 – \frac{1}{n+1})(1 – \frac{2}{n+1}) + \cdots + \\
& + \frac{1}{n!} \cdot (1 – \frac{1}{n+1})(1 – \frac{2}{n+1}) \cdots (1 – \frac{n-1}{n+1}) \\
& + \underbrace{
\frac{1}{(n+1)!} \cdot (1 – \frac{1}{n+1})(1 – \frac{2}{n+1}) \cdots (1 – \frac{n}{n+1})
}_{第 n+1 \text{项}} \\
\end{align*}

显然数列的第 $n + 1$ 项大于 $0$, 所以可以得到 $X_n < X_{n+1}\\$.
由单调收敛定理可以得到, 数列 $X_n$ 必有极限:
\begin{equation}
\lim\limits_{n \to \infty}{(1 + \frac{1}{n})^n} = e
\end{equation}

以上证明了数列 $(1 + \frac{1}{n})^n$ 存在极限 $e$, 下面针对函数形式进行证明:

求证: 当 $x \in \mathbb{R}$ 时 $\lim\limits_{x \to \infty}{(1 + \frac{1}{x})^{x}} = e$.

证明: 考虑以下两个数列:
$
(X_{n})_{n = 1}^{\infty} = (1 + \frac{1}{n + 1})^{n} \text{; }
(Y_{n})_{n = 1}^{\infty} = (1 + \frac{1}{n})^{(n+1)}
$

由结论 (3), $\lim\limits_{n \to \infty} {X_{n}}= \lim\limits_{n \to \infty} {Y_{n}} = e$

令 $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^{x}$, 这里 $x \in \mathbb{R^{*}}$:

\begin{align}
\notag &\forall x \geqslant N, \exists\, n \geqslant N
\text{, } n \in \mathbb{N^{*}} \text{ 总能找到 } n \text{ 使得 } n \leqslant x < n + 1 \\ \notag &\Rightarrow (1 + \frac{1}{n + 1})^{n} \leqslant (1 + \frac{1}{x})^{x} \leqslant (1 + \frac{1}{n})^{n+1} \\ &\Rightarrow X_{n} \leqslant (1 + \frac{1}{x})^{x} \leqslant Y_{n} \end{align} 由结论(4)与夹逼定理可得: \begin{equation} \lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e, \; x \in \mathbb{R^{*}} \end{equation} 而当 $x < 0$ 时 (即 ${x \to -\infty}$): \begin{align} \notag \lim\limits_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} &= \lim\limits_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^{t} = \lim\limits_{t \to \infty} \left[ (1 - \frac{1}{t})^{-1} \right]^{t} = \\ \lim\limits_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t - 1})^{t} &= \lim\limits_{q \to \infty} (1 + \frac{1}{q})^{q + 1} = e \cdot \lim\limits_{q \to \infty} (1 + \frac{1}{q}) = e \end{align} 由结论(5)(6): 当 $x \in \mathbb{R}$ 时, 有: $\lim\limits_{x \to \infty}{(1 + \frac{1}{x})^{x}} = e$.
证明完毕.

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